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Lois statistiques en Spc

Présentation des lois statistiques en Spc.

SOMMAIRE 

1) Les principes des Lois Statistiques
1.1    La famille de lois de WEIBULL
1.2    La loi normale (Pierre Simon LAPLACE - 1778 & Carl Friedrich GAUSS - 1825)  
1.3    La loi normale tronquée supérieure  
1.4    La loi normale tronquée inférieure
1.5    La loi log-normale supérieure (Francis GALTON - 1905) 
1.6    La loi log-normale inférieure
1.7    La loi demi-normale supérieure
1.8    La loi demi-normale inférieure
1.9    La loi de RAYLEIGH (John William RAYLEIGH - 1898)
2) Lois spécifiques pour les attributs
2.1    La loi binomiale (Jacques BERNOUILLI - 1699)
2.2    La loi de POISSON (Siméon Denis POISSON - 1837)
2.3    La loi multinomiale
2.4    La loi hypergéométrique (Blaise PASCAL - 1652)
3)Tableau résumé de principe de loi en fonction des symboles DIN ISO 1101


1) - Les principes des Lois Statistiques

Les normes ne proposent que trois types de distributions: la loi normale, la loi des défauts de forme, et la loi de RAYLEIGH. Or bien souvent la statistique de la production ne correspond à aucune de ces formes. La mise en place informatisée propose un bien plus grand éventail de distributions paramétriques ou non.

1.1 : La famille de lois de WEIBULL

Elle est utilisée dans un but d’une étude générale d’une distribution.

Formule distribution Lois Weibull

Avec : alpha
 : paramètre d’échelle
 
beta : paramètre de forme

 a : paramètre de position

Selon la valeur de beta la loi de WEIBULL tend vers des lois connues:
beta= 1                 loi exponentielle
1.5 beta beta < 2        loi log-normale
beta = 2                 loi de RAYLEIGH
3 beta beta beta 3.6        loi log-normale
beta = 3.6              loi normale

Courbes Loi de Weibull
1.2 : La loi normale (Pierre Simon LAPLACE - 1778 & Carl Friedrich GAUSS - 1825)

Lorsqu’un système physique est soumis à l’influence d’un grand nombre de paramètres dont chacun des effets est de grandeur comparable, alors l’effet global suit une loi normale. Cet énoncé est une des expressions du « théorème central limite » .

La loi normale indique la probabilité d’occurrence d’une caractéristique continue prise dans une population de taille infinie.

Elle est utilisée comme cas général des caractéristiques continues bilatérales ou unilatérales.

La loi normale est également la forme limite de plusieurs distributions lorsque la population est élevée.

 Formule Loi normale   et sigma sont la moyenne et l’écart-type).

PNG - 1.7 ko

1.3 : La loi normale tronquée supérieure

Toute population distribuée selon une loi normale et subissant une opération de tri sur une limite inférieure, est distribuée selon une loi normale tronquée supérieure.



1.4 : La loi normale tronquée inférieure
   
Toute population distribuée selon une loi normale et subissant une opération de tri sur une limite supérieure, est distribuée selon une loi normale tronquée inférieure.



1.5 : La loi log-normale supérieure (Francis GALTON – 1905)

Elle est utilisée comme approximation de la distribution d’une caractéristique unilatérale supérieure
(m et sigma sont la moyenne et l’écart-type de la loi normale sous-jacente, a est la valeur seuil).


1.6 : La loi log-normale inférieure

Elle est utilisée comme approximation de la distribution d’une caractéristique unilatérale inférieure

sigma Sont la moyenne et l’écart-type de la loi normale sous-jacente, a est la valeur seuil).



1.7 : La loi demi-normale supérieure

Elle est utilisée pour les caractéristiques mesurées, obtenues par la différence positive de deux autres mesures distribuées selon une loi normale ayant sensiblement le même écart-type. Elle est aussi appelée « loi des défauts de forme », ou encore « loi normale repliée ».

Exemples:

-    poids par double pesée (poids net = pesée du poids brut - pesée de l’emballage)
-    mesure de la concentricité d’un alésage (diamètre maximum - diamètre minimum)





1.8 : La loi demi-normale inférieure

Elle est utilisée pour les caractéristiques mesurées, obtenues par la différence négative de deux autres mesures distribuées selon une loi normale ayant sensiblement le même écart-type.



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1.9 : La loi de RAYLEIGH (John William RAYLEIGH - 1898)

Elle est utilisée pour les caractéristiques « géométriques » obtenues par la combinaison de deux mesures suivant des distributions normales, indépendantes, et de même écart-type.

Exemple: rayon d’une bague.

 


2) - Lois spécifiques pour les attributs

2.1 La loi binomiale (Jacques BERNOUILLI - 1699)

Elle indique la probabilité pour qu’un échantillon d’effectif n pris dans une population comprenant une proportion de non conformités, ait non conformités.

Lorsque np est grand, la loi binomiale tend vers la loi normale.



Lorsque , la loi binomiale tend vers une loi normale avec une moyenne et un écart-type 
2.2 : La loi de POISSON (Siméon Denis POISSON - 1837)

Elle indique la probabilité pour qu’un échantillon pris dans une population comprenant une proportion de défauts, ait défauts.

Lorsque , la loi de POISSON tend vers une loi normale avec une moyenne et un écart-type


2.3: La loi multinomiale

Elle indique la probabilité pour qu’un échantillon de taille N pris dans une population comprenant k défauts en proportions (p1,p2,p3, …,pk), ait (n1,n2,n3, …,nk) défauts.

Elle ne s’applique donc qu’aux caractéristiques évaluées par attribut multiple (ou par attribut aux mesures).

 

2.4 :La loi hypergéométrique (Blaise PASCAL – 1652)

Elle indique la probabilité pour qu’un échantillon d’effectif n pris dans une population de taille N comprenant une proportion de p défauts, ait x défauts.

A la différence de la loi binomiale, l’échantillon prélevé est supposé exhaustif (c’est à dire sans remise dans le paquet de pièces).



Np représente l’arrondi de N * p à l’entier le plus proche.
est le nombre d’échantillons possibles d’effectif n pris dans la population de taille N.
est le nombre de groupement possibles de pièces ayant un défaut.
est le nombre de groupement possibles de pièces n’ayant pas de défaut.

Lorsque N est grand, la loi hypergéométrique tend vers une loi binomiale de même moyenne.



Le choix des modèles de distribution doit être fait en fonction du type d’attribut :
- attribut binaire :
      - loi binomiale, loi de POISSON, ou loi normale, représentant le nombre de pièces défectueuses par prélèvement.

attribut aux mesures :
      - loi binomiale, loi de POISSON, ou loi normale, représentant le nombre de pièces hors tolérances par prélèvement (sans distinction hors tolérance supérieure ou inférieure).
      - loi multinomiale représentant le nombre de pièces hors tolérance inférieure ou hors tolérance supérieure, par prélèvement.

- attribut multiple :
      - loi binomiale, loi de POISSON, ou loi normale, représentant le nombre de pièces ayant au moins un défaut par prélèvement (sans distinction du type ni du nombre de défauts).
      - loi multinomiale représentant le nombre de pièces ayant un défaut donné par prélèvement.

Il est conseillé d’appliquer les règles suivantes pour le choix entre loi binomiale, loi de POISSON ou loi normale ; selon l’effectif n des prélèvements et la proportion p supposée de pièces défectueuses:




si np <= 18 : loi normale 

si np < 18 et n 50 : loi de POISSON

si np < 18 et n < 50 : loi binomiale 











3) - Tableau résumé de principe de loi en fonction des symboles DIN ISO 1101

 

Rectitude : B1                                                   B1 : loi demi-normale ( défaut de forme ou replié)
Planéité : B1                                                     B2 : loi de Rayleigh
Circularité : B1                                                 N  :  Loi normal
Cylindricité : B1
Forme d’une ligne quelconque : B1
Forme d’une surface quelconque : B1
Parallélisme : B1
Perpendicularité : B1
Inclinaison : B1
Localisation ou position : B1/ B2
Concentricité et coaxialité : B2
Battement total : B1 / B2
Battement simple :B1
Symétrie : B1  

Mesure de longueur, largeur, épaisseur : N
Moment de Torsion : N
Rugosité : B1
Embalance : B2    

Ceci en ne prenant que les lois définis par les différentes normes automobiles.